密码学的数学基础（四）

在这一篇中继续探讨抽象代数有关环和域的内容。

环论

定义：$(R,+,\cdot)$是一个环，满足以下条件：

这里的加法和乘法是抽象概念，不是真正意义上的加法和乘法，例如说这里的乘法不一定满足交换律。

1.$(R,+)$构成阿贝尔群。

2.$(R,\cdot)$构成半群。

注意到整数和乘法不能构成群，因为除了1和-1外的其他整数都没有逆元，但是满足结合律和封闭性，我们称之为半群，为乘法半群。

如果一个代数结构只满足封闭性，那么这种结构叫广群。半群在广群的基础上还有结合律的特性。如果还含有单位元，这种结构叫幺半群。群还含有逆元，如果还满足交换律就叫做阿贝尔群，含有生成元的群就叫循环群，几个概念属于层层包含关系。

3.满足分配律：

$$\forall a,b,c\in R,a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$ $$(b+c)\cdot a=b\cdot a+ c\cdot a$$

整数环：$(Z,+,×)$，有理数环：$(Q,+,×)$，实数环：$(R,+,×)$

$(Z_n,+,×)$也是环，其中分配律在模运算下也满足。

环可以轻松表示多项式。

根据集合的元素是有限的还是无限的，可以分为有限环和无限环。

如果我们要求一个环必须有乘法单位元，那么乘法部分就为幺半群，这种环叫含幺环。

如果乘法满足交换律，那么这种环叫交换环。（注意不一定有乘法单位元）

如果即含有乘法单位元又满足交换律，那么这种环叫做含幺交换环。

参数表示方式：

简称$R$为环，$\forall a,b\in R$：

$θ$：加法单位元，称为零元。

$e$：乘法单位元，称为单位元。

加法的逆元为相反数，$-a$表示；乘法逆元用$a^{-1}$表示，通常写法上有：

$$a-b=a+(-b)$$ $$\frac ab=a\cdot b^{-1}$$

运算性质：($a,b\in R$)

1.$(-a)b=-(ab)=a(-b)$

2.$(-a)(-b)=ab$

3.$(sa)(tb)=st(ab),s,t\in Z$

零元

定义非空集合$A$上的二元运算，$\theta\in A$，对于$\forall a\in A$，有：

$$\theta\cdot a=a\cdot \theta=\theta$$

称$\theta$为零元。

零元也分为左零元和右零元，因为不确定这个二元运算是否满足交换律。但是如果满足封闭性，那么左右零元相等且唯一。

定理1：对于代数结构$(A,\cdot),|A|>1$，如果$A$中存在零元和单位元，那么$\theta ≠e$

证明：假设这两个元相等，有：

$$a=e\cdot a=\theta\cdot a=\theta=e$$

那么$A$所有元素相等，$|A|=1$，矛盾。

定理2：群里无零元。

证明：群$G$如果阶为1，唯一元素为单位元，无零元。

如果阶大于1，假设有零元，对于任意$a$：

$$a\cdot \theta=\theta \cdot a=\theta ≠e$$

零元和任何元素运算都不等于单位元，零元没有逆元，不满足群的定义。

对于环，乘法半群中会有零元，这与定理2不冲突。

平凡环：$R=\{\theta\}$，否则为非平凡环。

零因子

在环$R$中，非零且非零元元素$a,b\in R$，有：

$$ab=\theta$$

称$a,b$为零因子。

零因子也有左右之分，交换环可以不分左右。

整环

对于含幺交换环，如果单位元和零元不是同一个东西，且无零因子的含幺交换环叫做整环。换句话说，一个非平凡的含幺交换环如果无零因子，就是整环。

例如$Z$就是一个整环，当$n$为素数时，$Z_n$也是整环。

除环

零元会影响环内的乘法半群构成群，接下来我们考虑无零因子环：

对于环$R$，如果$(R/\{\theta\},\cdot)$为群，那么$R$为除环。如果$(R/\{\theta\},\cdot)$为阿贝尔群，满足交换律，那么此时的除环叫做域。

除环又叫斜域。

总体来说，域是乘法构成阿贝尔群的含幺交换环。

在本质上，域也是一种整环，且没有零因子，且非平凡。

无限整环不一定是域，去掉0后构不成乘法阿贝尔群，缺少逆元，但是$Q,R$为域。

有限整环一定是域。

特征

$R$为环，如果存在最小正整数$m$，对于$\forall a\in R$，使得$ma=\theta$，那么$m$就是环$R$的特征，记为$Char\ R$。当$m$不存在，那么称$R$的特征是$0$。

加法阶

$R$为环，对于$a\in R$，如果存在最小正整数$k$，使得$ka=\theta$，那么$k$就是$a$的加法阶，如果$k$不存在，那么称$a$是无限加法阶的元素。

定理1：如果环的特征不等于$0$，环元素加法阶那么都是有限的，都是特征的因子。

对于环$Z$，特征就为$0$，没有任何正整数$m$满足$mz=0$。

对于环$Z_n$，特征就为$n$，对于所有元素都满足$na\equiv 0(\bmod n)$。

定理2：含幺交换环的特征等于$0$或其单位元的加法阶。

定理3：整环的特征等于$0$或者素数。

推论：整环的单位元的加法阶是无限的或者素数。

定理4：域的特征等于$0$或者素数，有限域的特征是素数。

子环

如果$(R,+,\cdot )$是环，$S$是$R$的非空子集，如果$(S,+,\cdot )$也是环，那么$(S,+,\cdot )$就是$(R,+,\cdot )$的子环，即$S$是$R$的子环，$R$是$S$的扩环。

平凡环$\{\theta\}$是任意环的子环。

对于环$R$，存在非空子集$S$，判断$S$能构成子环的条件：

对于$\forall a,b\in S$，能满足：

①减法封闭性：$a-b\in S$；（或证明加法部分能构成子群）

②乘法封闭性：$ab\in S$。

含幺交换环的子环不一定是含幺交换环。（$Z$的子环只有它本身是含幺交换环）

整环的子环不一定是整环。

如果$F$是域，$F’$是$F$的子环，如果$F’$能构成域，那么$F’$是$F$的子域，$F$是$F’$的扩域。

域的子环不一定是域。

注意：子环的单位元和环的单位元没有关系。

理想

理想就是一种特殊的子环，全称是理想子环。

定义：$(R,+,\cdot )$是环，$I$是$R$的非空子集，如果$(I,+,\cdot )$满足以下条件：

加法子群：$(I,+)$是$(R,+)$的子群。

乘法吸收律：$\forall r\in R,\forall a \in I\Rightarrow ra\in I(ar\in I)$。

我们称$I$是$R$的左（右）理想。

判断是理想：

①加法封闭性：$a+b\in I$

②乘法吸收律：$ra\in I$

注意：理想或子环一定包含环的零元，但未必包含环的单位元。

定理：$R$是环，$I$是$R$的理想，$e\in R$，那么$e\in I \iff I=R$。

简单证明：

左推右：很明显，直接就能得到。

右推左：$e\in I,\forall r\in R\Rightarrow r=re\in I\Rightarrow R\subseteq I$，$I\subseteq R$，所以$I=R$。

零理想：$\{\theta\}$（其他的叫做非零理想）

单位理想：$R$

平凡理想：$\{\theta\}$和$R$（其他的叫做非平凡理想）

真理想：$I\subset R$

双边理想

$(R,+,\cdot )$是环，$I$是$R$的非空子集，如果$(I,+,\cdot )$满足以下条件：

加法子群；

吸收律：$\forall r\in R,\forall a\in I\Rightarrow ra,ar\in I$。

那么$I$是$R$的双边理想。

单边理想：左理想、右理想。

对于交换环的理想都是双边理想。（$ra=ar$）

主理想

类比循环群。

$R$是环，$a\in R$，称$aR$（$Ra$）为由$a$生成的$R$的左（右）主理想。

当$R$是交换环时，$aR=Ra$，称之为主理想，记作$(a)$。

零理想$\{\theta\}$是环的主理想，由零元生成，$\{\theta\}=(\theta)$。

单位理想$R=eR=Re$如果是主理想，由单位元生成，环应该为含幺交换环。

定理：$R$是交换环，$a\in R$，$(a)$是$R$的理想。

性质：环的理想包含元素$a$，一定包含由$a$生成的主理想$(a)$。

可用吸收律证明：

$$\begin{align} (a) & = \{ra|r\in R\}\\ & = \{ra\in I|r\in R\}\\ & \subseteq I\\ \end{align}$$

素理想

$I$是$R$的真理想，$\forall a,b\in R$，如果$ab\in I$，有$a\in I$或者$b\in I$，那么$I$是$R$的素理想。

这个定义来源于素数：$p|ab$那么$p|a$或者$p|b$。

例如当$m$为素数时，$mZ$为素理想。例如当$m=3$时，对于$\forall a,b\in R$如果有$ab\in 3Z$，有$3|ab$，$3|a$或$3|b$，那么$a\in 3Z$或$b\in 3Z$。

$m$为合数时，$mZ$不是素理想。可用$a=2,b=3$，$ab\in 6Z$进行证明。

另一个例子：零理想$\{0\}=0Z$是$Z$的素理想。同理可证，$ab$其中至少有一个为$0$。

结论：当且仅当$m$为素数或者$0$时$mZ$是$Z$的素理想。（不考虑单位理想$m=1$，不是真理想）

极大理想

$M$是$R$的真理想，除了$R$以外不存在任何包含$M$的理想，那么$M$是$R$的极大理想。

等价定义：$M$是$R$的真理想，对于包含$M$的理想$I$，有$I=M$或者$I=R$，那么$M$是$R$的极大理想。

当$m$为素数时，$mZ$是$Z$为极大理想。零理想不是$Z$的极大理想。

域的理想

域只有零理想和单位理想，没有非平凡理想。

证明：假设域$F$有非零理想，存在非零元素$a\in I$，$F$是域，有逆元$a^{-1}\in F$，根据吸收律，有：

$$e=a\cdot a^{-1}\in I$$

当$e\in I$时，根据前面的知识可以知道$I=F$。

推论：零理想是域的极大理想。

定理：零理想是含幺交换环的极大理想当且仅当这个环是域。

证明：

前推后：存在非零元素$a\in R$，那么零理想$\{\theta\}\subset(a)$，因为零理想为极大理想，有$(a)=R$，存在$ab=e$，所以$a$都有逆元，构成域。

商环

我们使用双边理想构造商环，元素是环被划分后的陪集：$(R/I,+,\cdot )$

为什么要使用双边理想？

对于$[a]_I\cdot [b]_I=[ab]_I$：

有$(a+t)\cdot(b+t’)=ab+at’+tb+tt’,t,t’\in I$

第一项是属于环的，需要得到后面三项计算结果属于理想，才能满足陪集乘法。如果只是单纯的左理想或者右理想，$at’$和$tb$一定有一项不满足，所以需要满足交换律，使用双边理想。

商环又叫$R$模$I$的剩余类环。

陪集乘法：$[a]_I\cdot [b]_I=[ab]_I$，乘积构成的也是陪集，是以$ab$为代表元的陪集。

定理1：$I$是素理想$\iff R/I$是整环（$R$为含幺交换环）

理想是一种子环$\Rightarrow$商环的理想是商环的子环

定理2：$I$为极大理想$\iff R/I$是域（$R$为含幺交换环）

定理3：$M$是极大理想$\iff$$M$是素理想（$R$为含幺交换环）

环同态

$(R,+,\cdot )$和$(R’,\oplus,\odot)$是环，$\forall a,b\in R$，函数$f:R\to R’$满足以下条件：

$$\begin{cases}f(a+b)=f(a)\oplus f(b)\\f(a\cdot b)=f(a)\odot f(b)\end{cases}$$

称$f$为$R$到$R’$的环同态。

部分概念等同于群同态：

同态像：$Im\ f=f(R)=\{f(a)|a\in R\}$

同态核：$Ker\ f=\{a\in R|f(a)=\theta’\}$

同态核关联的是值域的零元，因为环一定有零元不一定有单位元。

复合环同态：$f:R\to R’$，$f’:R’\to R’’$：

$$f'\circ f:R\to R''$$

环同态是单射当且仅当同态核只包含零元。

环同态是满射当且仅当同态像是整个值域。

性质1：$f(ka)=kf(a),k\in Z$

性质2：$f(a^k)=f(a)^k,k\in N$

因为环里未必有单位元，每个元素不一定都有逆元，所以不能等于零或者负数。

当$f$是满同态，$R$是含幺环：

性质3：$f(a^k)=f(a)^k,k\in Z$

性质4：$f(e)=e’$

定理：同态核是环的双边理想。

环同构

当环同态是双射，它就是环同构。

定义在环自身的同构叫环自同构。

$R$和$R’$同构，记为$R\cong R’$。

第一同构定理

设环$R,R’$，有$f:R\to R’$是环同态，有：

$$R/Ker \ f\cong Im \ f$$

同态像同构于环和同态核构成的商环。

单位

设环$R$，$a\in R$如果$\exists b\in R$，使得：

$$ab=ba=e$$

那么$a$为单位。即有乘法逆元的元素叫做单位（unit）。

单位群

设环$R$，称：

$$R^*=\{a|a\in R,a\ is\ unit.\}$$

为$R$的单位群。

零元$\theta$不在单位群里，因为没有乘法逆元。

这个单位群是乘法群，单位元是$e\in R$。

单位在群同构穿越后还是单位。

对于环同构$\rho:R\to R’$，两个环对应的单位群可以构成一个乘法群同构$\bar{ \rho}$。

域论基础

多项式环

如果$R$为环，可以构成系数取自$R$的多项式环：

$$R[x]=\{a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n:n≥0,a_0,a_1,...,a_n\in R\}$$

$R$为$R[x]$的基环。

非零多项式的最高次项次数叫做多项式的次数，写作$\mathrm{deg}(f)$。如果：

$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n,a_n≠0$$

那么$\mathrm{deg}(f)=n$，这里的$a_n$为首项系数，如果非零多项式的首项系数为$1$，那么$f(x)$为首一多项式。

$a_0$为常数项，变量$x$称为环上的不定元（变量）。

域上多项式

当环$R$满足域的条件时，通常密码学中使用的是有限域$F_p$，也就有了多项式整环$F[x]$。（$F[x]$不是域）

相应的，$F$为$F[x]$的基域。

多项式整环$F[x]$不是域的原因：

不是所有的多项式都有乘法逆元，域是整环，没有零因子，如果存在乘法逆元，那么多项式乘积应该等于$e$，但是非常数项系数乘积肯定不为零元，所以结果肯定存在非常数项，矛盾。

$F$为基域，就可以在多项式环$F[x]$上进行多项式运算，具有带余除法的多项式环称为欧几里得环（欧式环），例如进行多项式除法$x^5+2x^4+7$除以$x^3-5$：

$$x^5+2x^4+7=(x^2+2x)(x^3-5)+(5x^2+10x+7)$$

得到的商$x^2+2x$和余式$5x^2+10x+7$，注意到余式的次数严格小于除式的次数。

定理：设$F$为域，$a,b\in F[x],b≠0$，那么存在$k,r\in F[x]$满足$\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}b$，使得$a=kb+r$。这称作对$a$进行带余除法。

$a,b,d\in F[x]$，如果$d$能同时整除$a,b$，那么$d$就是$a,b$的公因式，如果$a,b$的每个公因式都能整除$d$，那么$d$就是$a$和$b$的最大公因式。最大公因式一定是首一多项式。

相应的，还存在最小公倍式。

在很多环中最大公因式并不存在，例如$Z[x]$，但是如果在域$F[x]$中每两个多项式都存在最大公因式。

如果$\gcd(f_1,…,f_n)=e$，那么称这些多项式互素。

可以利用辗转相除法进行计算最大公因式。如果得到的最终结果不是首一多项式，可以乘首项系数的逆元。

性质1：$\deg (f+g)≤ \max(\deg f,\deg g)$

性质2：$\deg(fg)≤\deg f+\deg g$

对于整环，有：$\deg(fg)=\deg f+\deg g$

这是因为它没有零因子，任意两个非零元素相乘都不等于零元。

实数不仅是个环，还是个域。

例如：对于$(3+2x)(5-3x)=0$成立，我们能知道$3+2x=0$或者$5-3x=0$。

因为域没有零因子，所以两个因式不可能都是非零，所以至少有一个是零。

域上多项式环的理想

设$a\in R$，$J=\{g(x)\in R[x]|g(a)=\theta \}$是$R[x]$的理想。满足加法封闭性和吸收律。

定理：$F[x]$是主理想整环，$F[x]$的每个非零理想$J$都存在唯一的首一多项式$g(x)\in F[x]$，有$J=(g(x))$。

理想都是主理想的整环叫做主理想整环。

$F[x]$的所有理想都可以写成$(f(x)),f(x)\in F[x]$的形式。

不可约多项式

设域$F$，$p(x)\in F[x]$，如果$\deg p(x)＞0$，$p(x)=b(x)c(x)$，有$\deg b(x)=0$或者$\deg c(x)=0$。那么称$p(x)$在$F$上不可约。（也称在$F[x]$上不可约或素的。

平凡分解：域的非零元素都有乘法逆元，所以在域上的每个多项式都可以写成一个多项式乘以某个域元素的形式，例如$g(x)=a^{-1}f(x)$，那么$f(x)=ag(x)$。$f(x)$可以平凡分解为$a$和$g(x)$。

我们不关心平凡分解，我们只关注一个非常数多项式能否被分解为两个非常数多项式。

定理（类似于算数基本定理）：$\forall g(x)\in F[x],\deg(g(x))＞0$，那么$g(x)$可以唯一写成如下形式：

$$g(x)=ap_1^{e_1}(x)p_2^{e_2}(x)...p_k^{e_k}(x)$$

其中，$a\in F$，$p_n(x)\in F[x]$是彼此不同的首一不可约多项式。

代数扩域和素域

$K$是$F$的子域，$F$就是$K$的扩域或者扩张。

$K$是$F$的真子集，那么$K$是$F$的真子域。

没有真子域的域叫做素域。

素域的任何真子集都不可能构成它的子域。

素域的任何子域都是这个素域本身。

有理数域是素域。

对于任意有理数域子域$K$，肯定包含$0,1$。根据加法群可以得到所有整数，整数在乘法群中由于存在逆元，可以得到所有有理数，所以$K$就是有理数域本身。

定理：域$F$的所有子域交集$K$构成它的素子域。

证明：假设这里的$K$不是素域，它一定包含一个真子域$L$，得到$L\subset K$，有$L\subset F$。因为$K$是所有子域的交集，那么$L$是产生交集的子域之一，所以有$K\subseteq L$，出现矛盾。

定理：设$K$是$F$的子域，有集合$M\subseteq F$，记$K(M)$是$F$所有包含$K$和$M$的子域的交集，那么$K(M)$是$K$的扩域，$K(M)$是包含$K$和$M$的最小子域。

如果$M=\{a\}$，记$K(M)=K(a)$，$K(a)$称为$K$的单扩域，$a$是$K$上$K(a)$的定义元素。

$K$是$F$的子域，那么对于$a\in F$，存在非常数多项式$f(x)$，它的系数来自$K$，有$f(a)=\theta$，称$a$是$K$上代数的。

如果不存在这种的多项式，那么$a$是$K$上超越的。

设$L$是$K$的扩域，$\forall b \in L$是$K$上代数的，称$L$是$K$的代数扩域或者代数扩张。

定理，将满足对于元素$a$能称为代数的所有多项式集合起来：

$$J=\{f(x)\in K[x]|f(a)=\theta\}$$

存在唯一首一多项式$g(x)\in K[x]$，有$J=(g(x))$，这个多项式集合也就是等于某个唯一的首一多项式生成的主理想。这里的$g(x)$是$K[x]$的不可约多项式。

上面定理中的$g(x)$称为$K$上$a$的极小多项式（定义多项式，不可约多项式）。

极小多项式有如下性质（这里的$f(x)$不是已知在$J$里的多项式）：

$$g(x)|f(x)\iff f(x)\in K[x],f(a)=\theta$$

根据这个结论也可以知道$g(x)$是$K[x]$里以$a$为根的首一多项式中度最小的（都是$g(x)$的倍式） 。

扩域和向量空间

定理：域是其任意子域上的向量空间。

向量空间：设$V$是非空集合，$V$中元素称为向量。这些向量的元素建立在域$K$上，称为其基域，$K$中的元素称为标量，$V$是$K$上的向量空间。

这告诉我们向量空间的元素不一定是线代里的标准的向量形式，例如：

$n$维欧几里得空间为$R^n$，向量的每个分量都取实数，为实数域上的向量空间。

以实数为系数的度不超过$n$的全体多项式集合是实数域的向量空间。

以实数为定义域和值域的全体连续函数是实数域的向量集合。

扩域和子域的关系等价于向量空间和基域的关系，（$F:$向量空间、扩域；$K:$基域、子域）下面对应做出一些解释：

定义向量空间需要满足以下条件：

对于$\forall X,Y\in V$，$\forall a,b\in K,e\in K$

对于向量空间来说，加法构成阿贝尔群，乘法满足标量乘法。

标量乘法满足封闭性（$aX\in V$）、结合律（$a(bX)=(ab)X$）、单位元（$eX=X$）、分配律（$a(X+Y)=aX+aY$、$(a+b)X=aX+bX$）。

因此，我们可以使用线性代数来研究扩域。

在线性代数里，基是向量空间里最大的线性无关组。

基里向量的个数，叫向量空间的维度，用$[F:K]$表示，记作$K$上$F$的度。

有限扩张

如果这个度是有限的，那么$F$就是$K$的有限扩域或有限扩张。

有限域看作向量空间时的度是有限的。

注意到对于有限扩域这一名词不是指扩域的元素有限，而是指维度有限。

举几个例子：

①$[Q(\sqrt 2):Q]=2$，$Q(\sqrt 2)=\{a+b\sqrt 2|a,b\in Q\}$

有理数域和$\sqrt 2$构成的单扩域，元素是具有$a+\sqrt 2b$的形式，构成的元素都在$Q$上，尽管这个扩域和有理数域都是无限域，但是这是个有限扩张，基为$\{1,\sqrt 2\}$，度为$2$，为有限扩张。

②$[C:R]=2$，基为$\{1,i\}$

复数域是实数域的扩域，也是实数域上的向量空间。尽管域都是无限域，但是这也是个度为$2$的有限扩张。

③$[R:Q]=∞$

实数域是有理数域上的无限扩张，度是无限的。

此外，还有几个小性质：

$[K:K]=1$

$[F:K]=1\iff F=K$

定理1：$F$是$L$上的有限扩张，$L$是$K$的有限扩张，那么$F$是$K$上的有限扩张，满足关系式：

$$[F:K]=[F:L][L:K]$$

定理2：有限扩张是代数扩张。

简单证明：设$F$是$K$的有限扩张，满足$[F:K]=m$，对于$\forall a\in F$，根据线性代数有结论$e,a,…,a^m$是$K$上线性相关的。必然存在一组不为零元的$K$中的标量满足：

$$b_0+b_1a+...+b_ma^m=\theta$$

可以设上式为$f(x)$，得知$f(a)=\theta$。构成代数扩张。

单代数扩张

$F$是$K$的扩域，有$a\in F$，且$a$是$K$上代数的，称$K(a)$是$K$的单代数扩张或单代数扩域。

定理：不可约多项式$g(x)$构成的理想$(g(x))$是极大理想。

前面学习商环时知道：$I$为极大理想$\iff R/I$是域（$R$为含幺交换环）

对应的域为$K$，含幺交换环为$K[x]$，那么对于某个不可约多项式的极大理想为$(g(x))$，所以根据这两条可以得出重要推论：

域上多项式环和它的不可约多项式构造的商环是域，即为$(g(x))$为极大理想$\iff K[x]/(g(x))$。

性质1：设$g(x)$是$K$上$a$的极小多项式，度为$n$，有：

$$K(a)\cong K[x]/(g(x))$$

性质2：$[K(a):K]=n$，且$(e,a,…,a^{n-1})$是$K$上$K(a)$的基。

性质3：$\forall b\in K(a)$都是$K$上代数的，响应的极小多项式的度都是$n$的因子。

分裂域

$L$是$K$的扩域，$f(x)\in K[x]$是非常数多项式$(\deg(f(x))>0)$，如果$f(x)$可以写作一次因式乘积形式（$b$是$f(x)$的首项系数）：

$$f(x)=b(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_m)$$

其中的$a_i\in L$，称$f(x)$在$L$里分裂。

$f(x)$在$L$里分裂且满足：

$$L=K(a_1,...,a_m)$$

那么称$L$是$K$上$f(x)$的分裂域。

分裂域就是同时包含$K$和$f(x)$所有根的最小扩域。

例子：求$f(x)$分裂域：

$$f(x)=3(x^2-2)(x^2-3)(x^2-6)(x^2+1)\in Q[x]$$

函数$f(x)$在复数域的根为$±\sqrt 2,±\sqrt 3,±\sqrt 6,±i$，将这些根邻接到有理数域$Q$上：

$$\begin{cases} -\sqrt 2\in Q(\sqrt 2)\\ -\sqrt 3\notin Q(\sqrt 2)\\ -\sqrt 3\in Q(\sqrt 2,\sqrt 3)\\ ±\sqrt 6\in Q(\sqrt 2,\sqrt 3)\\ i\notin Q(\sqrt 2,\sqrt 3)\\ -i\in Q(\sqrt 2,\sqrt 3,i)\\ \end{cases} \Rightarrow Q(\sqrt 2,\sqrt 3,i)$$

注意这个分裂域只是复数域的子域，而不等于复数域。

根据定义可以知道，多项式在某个域里分裂并不能确定这个域是分裂域。

分裂域的存在性和唯一性：对于$\forall f(x)\in K[x]$非常数多项式，存在$K$上$f(x)$的分裂域，且任何$K$上$f(x)$的分裂域都是同构的。

分裂域是有限扩张，也是代数扩张。

推论：

$$[L:K]\le \deg(f(x))!$$

应用：重根判别式

类比中学中学过的二次方程根判别式：

$$\triangle=b^2-4ac$$

当$\triangle=0$时，说明这个二次方程有重根（两个相等的根）。

推广到高次方程：

$f(x)\in K[x],\deg(f(x))\ge 2$，有$f(x)=b(x-a_1)…(x-a_m)$，$a_1,…,a_m$属于$f(x)$在$K$上的分裂域，记判别式为：

$$D(f(x))=b^{2m-2}\prod_{1\le i \le j \le m}(a_i-a_j)^2$$

那么，是怎么利用这个判别式推出二次方程的根判别式呢？

假设一元二次方程$f(x)=ax^2+bx+c$因式分解：

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

代入判别式：

$$\begin{align} D(f(x)) & = a^{2×2-2}(x_1-x_2)^2 \\ & = a^2(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2) \\ & = a^2((x_1+x_2)^2-4x_1x_2) \\ & = a^2((-\frac ba)^2-4\frac ca) \\ & = b^2-4ac \\ \end{align}$$

同理，可以得到一元三次方程$f(x)=ax^3+bx^2+cx^1+d$因式分解：

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$$

得到判别式：

$$D(f(x)) =b^2c^2-4b^3d-4ac^3-27a^2d^2+18abcd$$