《近世代数基础》札记
基本概念
集合
有限或无限个固定事物的全体叫一个集合（简称集），组成集合的事物是这个集合的元素（元）。
没有元素的集合叫做空集合。
集合表示：
子集，真子集，交集，并集。
集合的积：
从$A_1,A_2,…,A_n$顺序取出元素组$(a_1,a_2,…,a_n)(a_i\in A_i)$所组成的集合记为集合$A_1,A_2,…,A_n$的积：
映射
法则$\phi$叫做集合$A_1,A_2,…,A_n$到集合$D$的一个映射，元$d$叫做元$(a_1,a_2,…,a_n)$在映射$\phi$下的象，元$(a_1,a_2,…,a_n)$叫做元$d$在映射$\phi$下的逆象。
需要对任何一个$A_1×A_2×…×A_n$的元素都能得到唯一的$D$元$d$，才算构成映射。
代数运算
一个$A×B$到$D$的映射叫做一个$A×B$到$D$的代数运算，代数运算是一种特殊的映射。
如果$\circ$是$A×A$到$A$的代数运算，那么$A$对于代数运算$\circ$是封闭的，称为$\circ$是$A$的代数运算或二元运算。
结合律
当对于$A$的代数运算$\circ$满足结合律时，对于$A$的任意三元$a,b,c$，有：
对于$A$里的$n$元$a_1,a_2,…,a_n$，对于$a_1\circ a_2\circ …\circ a_n$，对其使用结合律，总有有限个步骤，有限步骤数设为$N$，将这些步骤表示：
例如，当$n=3$时，$N=2$。
对于$A$的$n(n≥2)$个固定的元$a_1,a_2,…,a_n$来说，所有的$\pi(a_1\circ a_2\circ…\circ a_n)$都相等，相当于这些步骤能得到唯一的结果，用$a_1\circ a_2\circ…\circ a_n$表示。
交换律
对于$A×A$到$D$的代数运算$\circ$适合交换律，对于$A$的任何两个元$a,b$来说，都满足：
当集合$A$的代数运算$\circ$同时满足结合律和交换律，那么$a_1\circ a_2\circ…\circ a_n$的顺序就可以进行调换。
分配律
定义两种代数运算$\oplus$和$\odot$，$\odot$是$B×A$到$A$的代数运算，$\oplus$是$A$的代数运算，当$\oplus$和$\odot$满足第一个分配律时，对于$B$中的任何$b$，$A$的任何$a_1,a_2$都有：
一样的可以定义第二个分配律：$\odot$是$A×B$到$A$的代数运算，$\oplus$是$A$的代数运算，对于$B$中的任何$b$，$A$的任何$a_1,a_2$都有：
映射与变换
映射。
满射：$A$到$\overline{A}$的映射中，$\overline{A}$的每个元都至少是$A$的某些元的象。
单射：$a→\overline{a}$，当$a\not =b\Rightarrow \overline a \not =\overline{b}$。
一一映射（双射）：既是满射又是单射。
$A$到$\overline{A}$的一一映射$\phi$，存在$\phi^{-1}$为$\overline{A}$到$A$的一一映射。
$A$到$A$的映射为$A$的一个变换。
$A$到$A$的满射、单射或者$A$和$A$之间的一一映射叫做$A$的满射变换、单射变换或者一一变换。
同态
对于$A$到$\overline{A}$的映射$\phi$，叫做对于代数运算$\circ$到$\overline{\circ}$的$A$到$\overline{A}$的同态映射，对于：
有：
举个例子：
$A={$所有整数$}$，$A$的运算为加法；$\overline{A}={-1,1}$，$\overline{A}$的运算为乘法。
对于$\phi_1:a→1$（$a$是$A$的任一元）是$A$到$\overline{A}$的同态映射。因为对于$a→1,b→1$，有：
对于$\phi_2:a→1$，$a$为偶数；$a→-1$，$a$为奇数（$a$是$A$的任一元）。$\phi_2$是$A$到$\overline{A}$的满射的同态映射。因为对于偶数$a→1,b→1$：$a+b→1×1=1$
对于奇数$a→1,b→1$：$a+b→(-1)×(-1)=1$
对于一奇一偶$a→-1,b→1$：$a+b→(-1)×1=-1$
对于$\phi_3:a→-1$（$a$是$A$的任一元）是$A$到$\overline{A}$的映射但是不是同态映射，因为对于$a→-1,b→-1$，有：
当$A$到$\overline{A}$满射，那么将这个代数运算称为同态满射。
当$A$和$\overline{A}$同态时，若$\circ$满足结合律、交换律，对应的$\overline{\circ}$也满足结合律、交换律。如果存在两个代数运算都使其满足同态，那么对应也满足分配律。
同构和自同构
当同态满射同时是一个一一映射时，就称为同构映射（同构），对于$A$的任意两个元$a,b$：
都有：
对于$A$和$\overline{A}$满足同构，记为$A\cong \overline{A}$。
$A$与$A$之间的同构映射$\circ$叫做对于$\circ$的$A$的自同构。
等价关系和集合分类
关系：
对于一个集合$A$到另一个集合$D$，$D$只包含”对“”错“两个元，一个$A×A$到$D$的映射$R$就是$A$元间的一个关系。
如果$R(a,b)=$对，那么$a,b$构成关系$R$，记作$aRb$。
如果$R(a,b)=$错，那么$a,b$不符合关系$R$。
等价关系：$\sim$，满足反射律、交换律、传递，如果$a\sim b$，那么$a$和$b$等价。
分类：如果把集合$A$分成若干叫做类的子集，那么$A$的每个元属于且只属于其中一个类，那么这些类的全体叫做集合$A$的一个分类。
模$n$剩余类：
群论
群的定义
群有一种代数运算，集合$G$和一个代数运算当满足封闭性、结合律、单位元、逆元四条时叫做群。
群的元个数为有限证书叫做有限群，否则叫无限群，有限群的元的个数叫做群的阶。
阿贝尔群（交换群）：对于$G$的任何两个元满足交换律：$ab=ba$。
一个群$G$的单位元$e$是唯一的，使得$ea=ae=a$，$a$是$G$的任意元。
对于群$G$的一个元$a$，使得$a^m=e$的最小$m$叫做$a$的阶，如果$m$不存在，那么$a$是无限阶的。
消去律
对于群的乘法：
如果$ax=ax’$，那么$x=x’$。
如果$ya=y’a$，那么$y=y’$。
推论：在一个群里，方程$ax=b,ya=b$各有唯一解。
群同态
对于群$G$，如果$G,\overline{G}$对它们的乘法来说同态，那么$\overline{G}$也是一个群。
对于群$G$到$\overline{G}$的同态满射下，$G$单位元$e$的象是$\overline{G}$的单位元，$G$的元$a$的逆元$a^{-1}$的象是$a$的象的逆元。
